Mathématiques
Analyse
1. Espaces vectoriels, normes :
a) Normes sur un espace vectoriel réel ou complexe. Définitions, propriétés, notions associées.
b) Suites et fonctions :
Les espaces vectoriels considérés dans ce paragraphe sont de dimension finie sur R ou C et les applications sont définies sur une partie d'un tel espace vectoriel et à valeur dans un autre :
Equivalence des normes, suite de Cauchy ;
Notions de topologie, voisinage, continuité, continuité uniforme, parties compactes.
c) Espaces préhilbertiens réels ou complexes. Produit scalaire, inégalité de Cauchy-Schwarz, norme.
Famille orthonormale, méthode de Schmidt. Existence d'une base orthonormale dans un espace de dimension finie. Projection orthogonale sur un sous-espace de dimension finie.
2. Fonctions d'une variable réelle, calcul différentiel et intégral :
Les fonctions étudiées sont définies sur un intervalle et à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie sur R et sur C.
a) Dérivation :
Opérations algébriques sur les dérivées ;
Fonctions de classe Ck (k entier naturel sur k infini) ; fonctions de classe Ck par morceaux.
b) Intégration sur un segment :
Propriétés de l'intégrale ;
Primitives d'une fonction continue sur un intervalle. Intégration par parties, changement de variable ;
Inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C1 sur un segment (a, b). Caractérisation des fonctions constantes et des fonctions lipschitziennes sur un intervalle.
c) Formule de Taylor :
Formule de Taylor à l'ordre p avec reste intégral pour une fonction de classe Cp + 1 ; inégalité de Taylor-Lagrange. Intégration des développements limités. Théorème de Taylor-Young.
d) Intégrales dépendant d'un paramètre.
e) Intégrales impropres.
3. Séries :
a) Séries de nombres réels ou complexes :
Séries convergentes, divergentes, absolument convergentes. Critère de convergence de Cauchy. Convergence d'une série absolument convergente ;
Séries à termes positifs. Emploi des relations de comparaison pour l'étude de la convergence ;
Séries alternées. Convergence d'une série alternée ; majoration du reste ;
Opérations sur les séries.
b) Suites et séries de fonctions :
Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont à valeurs réelles ou complexes :
Convergence simple, convergence uniforme, d'une suite ou d'une série de fonctions. Convergence normale d'une série de fonctions ;
Suites et séries uniformément convergentes de fonctions continues sur un intervalle.
c) Séries entières :
Les coefficients des séries entières considérées dans ce paragraphe sont réels ou complexes :
Séries entières d'une variable complexe ;
Séries entières d'une variable réelle. Développement en série entière ;
Définition de exp(z) ou (ez), cos(z), sin(z) pour (z) complexe. Exponentielle d'une somme.
d) Séries de Fourier :
4. Equations différentielles :
a) Systèmes linéaires d'ordre 1 à coefficients constants. Etude du système X' = AX, où A est une matrice diagonalisable à éléments réels ou complexes ; résolution du problème de Cauchy ;
b) Equations linéaires scalaires d'ordre 2. Equations du type : x'' + a (t).x' + b (t).x = c (t), où a, b, c sont continues sur un intervalle I à valeurs réelles ou complexes ;
c) Notions sur les équations non linéaires. Solutions d'une équation différentielle x' = f (t,x) (resp.x' = f (t,x,x'), où f est de classe C1 sur un ouvert de R2 (resp. de classe C2 sur un ouvert de R3).
5. Fonctions de plusieurs variables réelles :
a) Calcul différentiel :
Les fonctions considérées dans ce paragraphe sont définies sur un ouvert de Rp et à valeurs dans Rn ;
Application de classe C1, différentielle, matrice jacobienne, jacobien ;
Définition des fonctions de classe C1 sur un ouvert de Rp à valeurs dans Rn (k entier naturel ou k infini) ;
Points critiques d'une fonction de classe C1 sur un ouvert de Rp ; condition nécessaire d'existence d'un extremum local. Pour une fonction numérique de classe C2 sur un ouvert de R2 : formule de Taylor-Young ; étude de l'existence d'un extremum local en un point critique.
b) Calcul intégral :
Intégrales doubles et triples. Propriétés. Calcul en coordonnées cartésiennes. Changement de variables ; cas du passage en coordonnées polaires ;
Intégrale curviligne d'une forme différentielle de dégré 1 continue sur un ouvert de Rp.