A N N E X E
PROGRAMME DU CONCOURS RÉSERVÉ (IEEAC)
Admission
I. - Epreuve orale obligatoire
Au cours de l'épreuve orale d'entretien avec le jury, le candidat pourra être interrogé sur la base du programme ci-dessous et devra dans ses réponses démontrer soit la connaissance de ce programme soit une aptitude à maîtriser les notions qui y figurent.
1. Nombres complexes :
a) Corps des nombres complexes, conjugaison. Forme algébrique, représentation cartésienne d'un point ;
b) Module d'un nombre complexe : argument d'un nombre complexe. Forme trigonométrique. Représentation polaire d'un point ;
c) Transformations élémentaires : translations, similitudes directes, symétrie, transformation ;
d) Applications des nombres complexes à la trigonométrie.
2. Analyse :
a) Notions élémentaires sur les suites et les séries :
Convergence d'une suite de nombres réels.
Opérations sur les suites convergentes :
Convergence d'une suite monotone ; exemples de suites adjacentes pour des suites de nombres non nuls : suite négligeable devant une autre, suites équivalentes. Exemples d'études de suites définies par une relation de récurrence.
Définition de la convergence d'une série à termes réels, convergence des séries géométriques.
Série à termes positifs : comparaison de deux séries dans le cas où Un U'n et où Un U'n.
Comparaison à une intégrale : convergence des séries de Riemann.
Comparaison à une série géométrique, règle de d'Alembert ; comparaison à une série de Riemann, règle de Riemann.
Séries absolument convergentes. Convergence d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général tend vers 0.
b) Fonctions d'une variable réelle :
On se place dans le cadre des fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles ou complexes définies sur un intervalle de R.
Le candidat doit savoir interpréter graphiquement les fonctions qui se déduisent d'une fonction donnée f par les opérations :
t f(t-T), t f(), t Kf(t) et t e j? f(t)
Le champ des fonctions étudiées se limite aux fonctions usuelles (fonctions en escalier, fonctions affines par morceaux, fonctions exponentielles et logarithme népérien, fonctions puissances, fonctions circulaires) et à celles qui s'en déduisent de façon simple par opérations algébriques et par composition. On définira aussi la fonction « t Arc sin t » et les fonctions hyperboliques, mais aucune étude systématique de ces fonctions n'est au programme.
Fonctions à valeurs réelles.
Limite et continuité en un point. Opérations sur les limites.
Propriétés fondamentales des fonctions continues (admises) : l'image d'un intervalle (resp. d'un segment) est un intervalle (resp. un segment) ; limite d'une fonction monotone. Continuité de la fonction réciproque d'une fonction strictement monotone.
Comparaison des fonctions (à valeurs non nulles) au voisinage d'un point : fonction négligeable devant une autre, fonctions équivalentes. Comparaison des fonctions exponentielles, puissance et logarithme au voisinage de + .
Brève extension aux fonctions à valeurs complexes.
Représentation graphique d'une telle fonction par une courbe plane définie par une représentation paramétrique ou une représentation polaire.
Aucune connaissance n'est exigible sur l'étude des points singuliers et des branches infinies.
c) Calcul différentiel et intégral.
Dérivées et intégrales.
Consolidation et approfondissement des acquis de terminale sur la pratique du calcul des dérivées et des primitives. Brève extension au cas des fonctions et valeurs complexes.
Intégration par parties, changement de variable, exemples de calculs de primitives.
On s'assurera que les candidats connaissent l'interprétation géométrique et cinématique de la dérivée en un point. On donnera aussi la notation différentielle « d f = f'(t) dt » et son interprétation physique en termes d'effet sur la valeur de « f » au point « t » d'un petit accroissement de la variable.
Il n'y a pas lieu de reprendre la présentation des concepts de dérivées et d'intégrales, et aucune difficulté théorique ne peut être soulevée à ce sujet. Pour l'intégration, on se limite au cas des fonctions continues par morceaux, qui se déduit aussitôt du cas des fonctions continues, abordé en classe de terminale. Pour le calcul des primitives, les candidats devront savoir traiter :
Les exponentielles polynômes (de la forme de t eat p(t), où a est complexe, et où p est un polynôme) et les cas qui s'y ramènent simplement par linéarisation ;
Les fonctions rationnelles dans le cas des pôles simples. Dans le cas où il y a des pôles multiples, des indications doivent être données sur la méthode à suivre.
Applications du calcul différentiel.
Exemple d'emploi du calcul différentiel pour la recherche d'extrémums.
Emploi du calcul intégral pour l'obtention de majorations et d'encadrements.
Le théorème de Rolle et la formule des accroissements finis ne sont pas au programme.
Formule de Taylor avec reste intégral. Majoration du reste, inégalité de Taylor-Lagrange.
Application à l'obtention des développements limités des fonctions usuelles (exponentielle, logarithme, binôme, fonctions circulaires).
Application au développement en série entière des fonctions précédentes.
Exemples d'emploi de développement en série entière pour l'approximation d'une fonction par un polynôme.
La théorie générale des séries entières est hors programme.
Applications du calcul intégral.
Notions sur les intégrales impropres.
Convergence des intégrales de Riemann, intégrales de fonctions positives, intégrales absolument convergentes.
d) Notions d'analyse spectrale.
Notions sur les séries de Fourier.
Coefficients de Fourier d'une fonction T-périodique continue par morceaux et série de Fourier d'une telle fonction : forme exponentielle et forme en « cos n w t et sin n w t ». Théorème de convergence (admis) lorsque f satisfait aux conditions de Dirichlet. Formule de Parseval (admise) donnant « oO . f (t) . ² dt » en fonction des coefficients de Fourier, lorsque « f » est continue par morceaux. Exemples de développements de fonctions périodiques en série de Fourier.
Notions sur la transformation de Laplace.
Définition de la transformation de Laplace.
Linéarité. Transformée de Laplace d'une dérivée et d'une primitive. Effet d'une translation ou d'un changement d'échelle sur la variable. Effet de la multiplication par e-at. Transformée de Laplace d'une fonction périodique. Transformée de Laplace des fonctions constantes et des fonctions exponentielles « t e at où a e C ».
Les notions de fonction de transfert et de produit de convolution ne sont pas au programme.
e) Equations différentielles.
Pratique de la résolution des équations linéaires du premier ordre, et sur les exemples simples, d'équations à variables séparables et d'équations homogènes. Résolution des équations linéaires du second ordre à coefficients constants (réels ou complexes) dont le second membre est une fonction exponentielle polynôme « eat p(t), où a e C ».
Applications de la transformation de Laplace à la résolution des équations différentielles linéaires à coefficients constants et aux systèmes différentiels linéaires à coefficients constants.
3 Algèbre linéaire :
a) Espace vectoriel Kn, où K désigne R ou C ;
b) Matrices ; application linéaire associée. Algèbre Mn (K) des matrices carrées ;
c) Pratique de la méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes d'équations linéaires ;
d) Matrice associée à un endomorphisme de Kn dans une base, changement de base, matrices semblables ;
e) Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme ; définition des endomorphismes diagonalisables, interprétation matricielle. Valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice ;
L'étude des structures algébriques (groupes, anneaux, corps...) n'est pas au programme. Il en est de même pour les notions générales d'espace vectoriel et d'algèbre.