Algèbre
1. Algèbre linéaire et multilinéaire :
Dans ce chapitre le corps de base est R ou C.
a) Dualité des espaces vectoriels de dimension finie. Bases associées d'un espace E et de son dual E*. Orthogonalité.
b) Calcul matriciel et systèmes d'équations linéaires.
c) Réduction des endomorphismes et des matrices carrées :
Valeurs propres d'un endomorphisme, sous-espaces propres, vecteurs propres ;
Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Polynôme caractéristique, ordre de multiplicité d'une valeur propre. Endomorphismes diagonalisables ;
Valeurs propres d'une matrice carrée, vecteurs propres. Diagonalisation des matrices carrées.
2. Espaces vectoriels euclidiens :
Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont de dimension finie sur R.
a) Géométrie des espaces euclidiens :
Endomorphismes symétriques ; matrice associée dans une base orthonormale ;
Automorphismes orthogonaux, groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal (rotations). Matrices orthogonales. Changement de base orthonormale.
b) Réduction des endomorphismes symétriques. Réduction d'un endomorphisme symétrique dans une base orthonormale. Diagonalisation d'une matrice symétrique au moyen d'une matrice orthogonale. Définition d'une forme quadratique. Endomorphisme symétrique associé. Définition des formes quadratiques définies positives.